出典は忘れましたが、良い問題を思い出したので書いときます。

1.p,qは素数でp>2であり、a,bは自然数である。
a^p - b^p = qならば
q ≡ 1(mod 2p)を示せ

2.ΔABCにおいて
(sinA² + sinB² + sinC²)/sinA*sinB*sinC = 2√3の時、ΔABCはどのような形をしているか示せ。

3.ガウス平面上のΔABCについて
A+B+C = A²+B²+C² = 0が成立している時、ΔABCはどのような形か示せ。

4. x,yを有理数とする
x⁵ + y⁵ = 2*x²*y²である時、√(1-xy)は実数か虚数か、有理数か無理数かを答よ。


5. xを任意の実数とする
x⁴ - 2x² + x + 3 > 0を示せ。

6.x=1の時y=1とする
y' - y/x = ±x²の時に、yをxの関数として表せ。

1,2,3,5,6はまだましだけど、４が難しいな･･･
4番10分ほど考えたけれどわからん･･･実数か虚数かはともかく、有理数か無理数かがわかるというところからのアプローチがいりそうだ・・・

GRAM さんが書きました:1,2,3,5,6はまだましだけど、４が難しいな･･･
4番10分ほど考えたけれどわからん･･･実数か虚数かはともかく、有理数か無理数かがわかるというところからのアプローチがいりそうだ・・・

易問は除いたつもりなので、全部出来たら数学に限れば国公立大学でほぼA判定を取れるレベルだと思います。
特に、4番の有理数・無理数の判定は身の回りで出来た人はいませんでしたよ。

なんか悔しいので一題追加します。

aは自然数の奇数であり、nは自然数である

a^{2^(n-1)} ≡ 1(mod 2ⁿ)を示せ。

P.S.
↓は私が解いた問題ではないですが、知ってる中で多分最難です。

nを任意の自然数とする。
2n-1個の整数が与えられた時、適当なn個を選べばその和はnの倍数と出来る事を示せ。

何言ってんですかｗ
こんなもん解けなくても国公立のA判定（例え東大京大でも）なんか出ますよ
まあ４と２以外は大学生の数学知識を使えばほとんど定型の問題ですし、２なんかは京大が好きそうな問題ですね
でも４解けない・・・。一意に定まるならx=y=1or0から有理数であることは確定。
相加相乗を使えば少なくとも実数であることはわかるのだが・・・偏微分とかしてもうまくいかんしなぁ。
というか今日の昼寝時間を返して下さい!!!

え～と、6以外はとりあえず高校範囲で解けるようにしてあります(汗

1.因数分解→二項定理→qは奇数なので成立
2.相加相乗で不等式を作り、等号条件について考える
2'.↑の相加相乗の直前の式からtanA,tanB,tanCの式に置き換えて作業(sinA=sin(B+C)より
3.A=1+0iで決め打ち、B,Cは適当において地道に計算(ドモアブルなしでもいけます)
4.ヒミツ(笑)　　　　…ここだけの話、相加相乗は一回も使いませんよ
5.実は平方完成できる
6.e^-log|x|をかけて、関数の掛け算の微分の形にすれば後は作業(e^(-lon|x|) = 1/±x)

ちなみに追加の問題はオイラーとかフェルマーの小定理とかは使わないでくださいね(汗

#6番は高校範囲では誘導ないとほぼ無理ですｗ