●３辺の長さから面積を求める

３辺の長さ --> ①cosの値 --> ②sinの値 --> ③面積を求める

という手順で求められます。たとえば、a=5、b=7、c=9 の △ABC の面積を求めてみましょう。
角度はどこを選んでもかまいません。ここでは A を使うことにします。

①３辺から cosA を求めます。

cosA = (b^2 + c^2 - a^2)/(2 * b * c) = (49+81-25)/2*7*9 = 5/6

②cosA から sinA の値を求めます。

sin^2A + cos^2A = 1 より sin^2A = 1 - cos^2A、sinA>0 だから、

sinA = ｒ(1-cos^2A) = r(1-25/36) = r11/r36 = r11/6

③ A を「間の角」とする２辺を使って△ABCの面積を求めます。

△ABCの面積 = (1/2) * b * c * sinA = (1/2)*7*9*(r11/6) = (21*r11)/4


● ヘロンの公式

△ABCの面積 = r(s(s-a)(s-b)(s-c))

ただし s = (a+b+c)/2


●２角の狭辺から他の辺を求める

これまで２辺か３辺の長さがわかっている３角形でしたが今度は「１辺とその両端の角（２角狭角）がわかったときに、どのように他の２辺の長さを求めるか」がテーマです。

●正弦定理
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△ABCにおいて、

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

が成り立つ。ただし、R は △ABC の外接円の半径である。
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本書で「ぜひ覚えておいてほしい」６つの公式のうちの４つめです。