●三角比は鈍角でも使えるのか

鈍角でも成り立つようにするには、

sin140°= sin(180-140)°= sin40°

が、成り立つべきです。三角関数表を見ると 90°までしか載っていません。それだけで間に合うからです。

一般に、θと左右対称な角は 180°-θ ですから、
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sinθ = sin(180°-θ)
cosθ = -cos(180°-θ)
tanθ = -tan(180°-θ)
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が成り立つことがわかります。


●三角比を鈍角にまで広げたオカゲで・・・

三角比を鈍角にまで拡張するのは、三角形の面積を求めるのに便利だからです。

面積 = (1/2)*２辺の積*sin140°= (1/2)*２辺の積*sin40°


●相互関係は鈍角でも成り立つ

◆三角比の相互関係
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Ⅰ、sin^2θ + cos^2θ = 1
Ⅱ、tanθ = sinθ/cosθ
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および tan^2θ+1 = 1/cos^2θ

結論から言うと、これらは θ が鈍角になっても成り立ちます。
鈍角になると、x がマイナスになりますが、プラスだろうとマイナスだろうと、２乗すればみんなプラスになりますので、x がマイナスでもピタゴラスの定理が成り立ちます。

x^2 + y^2 = r^2

したがってあとは前にやったのと同様に証明できます。

tanθ = -tan(180°-θ) において、θ=90°を代入すると
tan90° = -tan90° ∴tan90° = 0

ツッコミを入れてください。

ツッコミを入れてほしい、みけＣＡＴさん、コメントありがとうございます。

●傾斜角90°の斜面

「90°の斜面」とはどんな斜面でしょうか。90°の直角三角形、なんて考えてはいけません。梯子をイメージしたほうがよいかもしれません。
0°の状態から梯子が徐々に急になってなっていく様子を想像してください。この梯子を垂直に登った高さ y は、斜面 r と同じだから、

sin90°= y/r = r/r = 1 ∴sin90°=1

水平方向に進む距離 x は 0 だから、

cos90°= x/r = 0/r = 0 ∴cos90°=0

ところが、タンジェントを求めようとして分数をつくると、

tan90°= y/x = y/0 = ?

ということになります。なぜ「?」なのか、三角関数表では、tan90°のところは「--」になっていて、数値は書いてありませ。電卓ではエラーになります。
これは「分母が 0 の分数は無意味」だからです。
分数は割り算を表わしますが、正しい割り算では、たとえば、6/2=3 は 3*2=6 で元に戻るのですが、

2/0=?

で「?」にどんな数値を入れても、?*0 は元の 2 には戻りません。
0 で割ることは、何も約束されていないし、何の約束もできないのです。ということで tan90°には値がないということになるのです。