学校で、今日のやる範囲が終わり、ノートに自分で考えた公式の証明をしていた。


1/2　＋　　さらにその1/2 + さらに・・・・・とやると、　　　　　　　　　　


みたいになるのは知っていて、そこでこんな仮説を立ててみた
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓


1/ｘ^1　　+　1/ｘ^2 +　1/ｘ^3　+　・・・・・　＝ 1 / (x-1)　　　（ノートと違ってパソコンだと文字が読みにくい）

適度に読み飛ばしていってください

　　　～～証明～～

ｘを2にすると、　　1/2 + 1/4 + 1/8 ・・・・

　　　　　　　　　　→　2/4 + 1/4 = 3/4　　　（通分して計算しています）
　　　　　　　　　　→ 6/8 + 1/8 = 7/8
　　　　　　　　　　→　14/16 + ・・・・・・・・

極限に大きい数を　n　とすると 、(n-1)/n となり、限りなく１に近づく。（ここでは　「１」　と断言しておきます）
　　1 / (x-1)　=　1/( 2-1 )　=　1/1　 =　1


xが３の場合は　　1/3 + 1/9　+　1/27・・・・・・


　　　　　　　　　　→　3/9　　　+　1/9　=　4/9
　　　　　　　　　　→　12/27　+　1/27　=　13/27
　　　　　　　　　　→　13/81　+　・・・・・・・・

　 (n-1)/2 /n 　　　　　= 　　(n-1) / n 　　　　/2 　　=　1/2
|　分子　|分母|　　　　　さっき１とした式

　　　 1 /　(x-1)　=　1/( 3-1 )　=　1/2



今度は負の数の場合の証明

x= -1 の場合
(-1)^1　+　(-1)^2　+　(-1)^3 ・・・・　　= -1　+1　-1　・・・・　= 0　or　-1　　　　=　(0-1)/2　　　　=　-1/2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　起こる確率は半々　 ならば平均を取る
1/(x-1) = 1/( -1-1 )　=　-1/2


x= -2 の場合　
1/(-2)^1　+　1/(-2)^2　+　1/(-2)^3 ・・・・　=　-1/2　+1/4　-1/8・・・・・

　　　　　　　　　　　　　　→　-2/4 + 1/4 = -1/4　・・・　-25％
　　　　　　　　　　　　　　→　-2/8 - 1/8 = -3/8　・・・　-37．5％
　　　　　　　　　　　　　　→　-6/16 +1/16= -5/16・・・　-31．25％

だんだん -33％に近づいている(考察）　→　-1/3

1 / (x-1) = 1/( -2-1 ) = -1/3


　
　　　　こっからが本題


x=1 にすると　　１＋１＋１＋・・・ = ∞　（無限）　　になる

1 / (x-1) = 1/( 1-1 ) = 1/0

このことから　1/0 は　無限　となる



x=0　にすると　　(1/0)^1　+　(1/0)^2　+　(1/0)^3・・・　　＝　1/0　+　1/0　+　1/0 +・・・・

1/0 は無限なので　→　　　無限を無限回　足す　→　∞^2 = -1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑　1/(0-1)


　　　　　　　　　　なんだこりゃ、と思った矢先、ぼくの頭の中に激震が走った！



虚数・・・・・　-１の平方根　　　→　　ｘ^2 = -1 　→　∞＾２　= -1 　 →　虚数は　∞　　（・・・・・！！）

まだ学校で、虚数自体習っていないのに・・・
後日、先生にこのノートをみせると　「おもしろい」　とのこと。

ここまで読んだみなさんは、どう思いますか？

すごく・・・おもしろいです！
0や∞が登場すると、途端に不思議なことが起こり始めますよね。
ときには小学1年生のときに習った法則まで崩壊させることも・・・。うん。奥が深い。
その調子で歴史に名を残す数学者になってくださいね＾＾

最初の公式の証明をしていたら、偶然発見したので
　i 　の正体は他にもあるような気がします。

スライパ さんが書きました: ここまで読んだみなさんは、どう思いますか？

途中までは凄くいいんじゃないでしょうか？

ただ、x = 2, 3, -2だけでしか真になることを示していないのは問題かと思います。
また、最初の が成り立つと仮定する段階で分母は0以外(体の公理)によりx != 0という条件とx != 1という条件が出てくるのでこの式のxに0や1を用いることはできません。

ちなみに、 の収束値を求めるには次のようにすれば良いかと思います。

limで表せるの忘れてた。

「体の公理」は初耳なので、ググって勉強してきます。

ありがとうございました。

スライパ さんが書きました:ここまで読んだみなさんは、どう思いますか？

法則性を探し、仮説を立てることはとてもいいことで基本的に正しいアプローチだと思います。
しかし、あくまでもそこからが数学です。
それが正しいこと、もしくはそれが間違っていることを説明できなくてはなりません。
狐さんがヒントを出しているみたいですので、ここからは自分で考えてみてください。
どこまでが正しくてどこからが間違っているのか。
なぜ正しくてなぜ間違っているのか。そのへんですね。

どうやら 1/0 自体がタブーだってことが分かりました。
式を読むのがなかなか難しい。（Σ・・・for文と同じ？　　、振動　＆　発散・・・グラフを書いてたので直感的に分かる）

bitter_fox さんが書きました:// (1 / x^n * (x - 1))は[x > 1, x ∞で0に収束するので

特にここが難しい。まだ時間がかかりそうです。