ようやく多分完全な証明できました^^;
これで心おきなくマクローリン展開を使えます・・・

手順は
①基本は帰納法
②n=1の時は平均値の定理と同じ
③n=kで成立している時、fⁿ(θx)を合成関数と考え連続関数である事を示す(x=0の時はfⁿ(0)と一致する)
④n=kの時の式を0→xについて積分する
⑤　③から平均値中間値の定理を用い、n=k+1で成立するθが存在する事を示す
⑥ ②及び⑤から証明完了。

補足です。
θxは多値かもしれないですが、fⁿ(θx)はただ一つの値を持ちます。