好きな数学の問題2

諸君、私は数学が好きだ。
思わずホイホイされたなら、一緒に数学の問題でも解きながら駄弁りましょう。
別に、数学以外の話題でも何でもいいですし。
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kimuchi
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好きな数学の問題2

#1

投稿記事 by kimuchi » 8年前

大分過疎っていますが新トピック立てますね。
数学の問題は数あれど、ぐっとくる面白い問題はなかなか見つかりませんorz

が、つい先日、個人的に面白い問題にめぐり合えたので載せておきます。

[tabs][tabs: 問題]
[table=width: 100%; background-color: #020; color: #fff;border: 3px #010 solid;][tr=][td=padding: 20px;font-size: 16px;]

数列 {an} を,
an = cos(π/(6*21))cos(π/(6*22))・・・cos(π/(6*2n))
とする.
このとき, lim(n→∞)an の値を求めよ.

[/td][/tr][/table][/tabs]

初めから答えがわかっているのもつまらないと思いますので、しばらく伏せておきますね。
最後に編集したユーザー kimuchi on 2011年4月25日(月) 20:02 [ 編集 1 回目 ]

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lbfuvab
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Re: 好きな数学の問題2

#2

投稿記事 by lbfuvab » 8年前

おお、これは良い問題。
一応、思いついた方法を書いておきますね
► スポイラーを表示
では私からも一題。

問. n2+1(n∈N) で表される自然数の素因数全体の集合をPとすると
∀x∈P, x ≡ 1(mod 4) ∨ x = 2
が真である事を示せ。

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lbfuvab
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Re: 好きな数学の問題2

#3

投稿記事 by lbfuvab » 8年前

解答載せるの忘れてたorz
► スポイラーを表示
最後に編集したユーザー lbfuvab on 2011年4月27日(水) 22:16 [ 編集 1 回目 ]

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kimuchi
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Re: 好きな数学の問題2

#4

投稿記事 by kimuchi » 8年前

うわぁ、私の解答要りませんねこれ。完璧です。(^^;)

して、lbfuvabさんの問題ですが・・・
解答を見ても分かりません...orz

よろしければ、「p」が何処から出て来たのかと、②の式の意味を教えて下さると有難いです。

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lbfuvab
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Re: 好きな数学の問題2

#5

投稿記事 by lbfuvab » 8年前

あ、すいません、書くの忘れてました。
pは集合Pの元です。

後、(a,b)はaとbの最大公約数を表しますよ。


P.S.
2∈Pは自明ですよね?

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kimuchi
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Re: 好きな数学の問題2

#6

投稿記事 by kimuchi » 8年前

返信有難うございます。
2∈Pはn=1のときですよね。多分大丈夫です。

おかげさまでヒントを頂いてから二時間でなんとか理解できました。
ちょっと自信がないのでお聞きしたいのですが、証明の最後の方は
m=p-1, m≡0(mod m')より
p-1 ≡ 0(mod 4)
という流れで合っていますか?

あと揚げ足取りになるかもしれませんが
(*)の証明の「q>m'より~」は「q<m'より~」でしょうか?

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lbfuvab
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Re: 好きな数学の問題2

#7

投稿記事 by lbfuvab » 8年前

>返信有難うございます。
>2∈Pはn=1のときですよね。多分大丈夫です。

n=1に限らず、nが奇数なら2を素因数に持ちますよ?

>おかげさまでヒントを頂いてから二時間でなんとか理解できました。
>ちょっと自信がないのでお聞きしたいのですが、証明の最後の方は
>m=p-1, m≡0(mod m')より
>p-1 ≡ 0(mod 4)
>という流れで合っていますか?

いえ、mというのはn^m≡1(mod 4)を満たす自然数ならmです。
言うなれば、M={x | n^x≡1(mod 4)}という整数の集合の元です。
そしてm'はMの元で最小の物です。

ん~、実はこの部分はラグランジュの定理の証明なんです。
つまりシンプルに書くと
► スポイラーを表示
とも書けるんですが、
私がラグランジュの定理を知ったのは最近なので、使うのを躊躇しましたorz

>あと揚げ足取りになるかもしれませんが
>(*)の証明の「q>m'より~」は「q<m'より~」でしょうか?
修正しました、すいませんm(_ _)m

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kimuchi
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Re: 好きな数学の問題2

#8

投稿記事 by kimuchi » 8年前

二日考えても理解できなかったので質問させて下さい・・・(理解できましたとか妄想でしたorz)

フェルマーの小定理より
n,pが互いに素の整数であるとき、n^(p-1)≡1(mod p)が成り立ちますよね?
これと④の n^m ≡1 (mod p) を比較してm=p-1とするのは間違いなのでしょうか?
m'=4と②とフェルマーの小定理と④から
p-1 ≡ 0(mod 4)
この部分でどんな処理がされているのかよく分かっていなかったようです。
どのような操作で(mod p)の式を(mod 4)の式で表せるようにしたのでしょうか?
いえ、mというのはn^m≡1(mod 4)を満たす自然数ならmです。
言うなれば、M={x | n^x≡1(mod 4)}という整数の集合の元です。
そしてm'はMの元で最小の物です。
同様にこの文章の意図も今ひとつ分かりませんでした。

図々しい限りですが、ご教示いただければ幸いです・・・orz
ラグランジュの定理の方は初めの方が分かったら分かる気がします・・・?
n=1に限らず、nが奇数なら2を素因数に持ちますよ?
冷静に考えればそうですね。やっぱり詰めが甘い・・・

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lbfuvab
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Re: 好きな数学の問題2

#9

投稿記事 by lbfuvab » 8年前

ラグランジュの定理をこの問題に限定して書くと

aを素数pの倍数でない自然数とする時、出来る限り小さな自然数で
am ≡ 1(mod p) となるmを定めると
p-1はmの倍数となる

なんですね

つまりm=4を示せば良いわけです。



P.S. 山本芳彦氏の「数論入門」風に書くと以下の命題が順番に示せます
(i) あるn2+1が素数pを約数に持つ(前提)
(ii) n2 ≡ -1 (mod p)
(iii) nx ≡ 1(mod p)なる最小の自然数xはx=4
(iv) p-1は4の倍数
(v) pは4で割って1余る

(i)→(ii)について 
自明

(ii)→(iii)について
n4 ≡ 1(mod p)は自明
今、
n1 ≡ 1(mod p)ならばn2 ≡ 1となり矛盾
n2 ≡ 1(mod p)は仮定から否定される
n3 ≡ 1(mod p)ならばn4 = n3 * n ≡ n ≡ 1 (mod p)となり矛盾
よって成立

(iii)→(iv)について
ラグランジュの定理より成立

(iv)→(v)について
自明

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kimuchi
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Re: 好きな数学の問題2

#10

投稿記事 by kimuchi » 8年前

解説有難うございますm(_ _)m

n^m ≡ 1(mod p) (n,m∈N)・・・①
となるpを一つ取り出すと, (n,p)=1,フェルマーの小定理より
m=p-1となる.・・・②
n^4 ≡ 1(mod p), また, m=1,2,3のときは①が成立しないから,
①の成立する最小のmをm'とすると
m'=4となる.・・・③
①の成立する全てのmはm'の倍数であるから
①,②より
m ≡ p-1 ≡ 0 (mod m')
∴ p ≡ 1 (mod 4)

色々と省略してしまっていますが、取り敢えず流れだけこんな理解になりました。
ご指摘いただけると助かります。
また、ラグランジュの定理はこの中で、mがm'の倍数になることなんですよね?

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lbfuvab
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Re: 好きな数学の問題2

#11

投稿記事 by lbfuvab » 8年前

返信遅れてスイマセン^^;
そんな感じですね。

後、風邪をひいてしまい問題が用意出来ていません。すいません。

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kimuchi
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Re: 好きな数学の問題2

#12

投稿記事 by kimuchi » 8年前

風邪ですか・・・大変な中返信有難うございます。

私も問題を用意出来ていませんし(クオリティに天地の差がありますが(^^;))
むしろ、こんなに質問にお答えいただいて私の方が申し訳のない状態ににに。

末筆ながら、お大事になさって下さいね。

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lbfuvab
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Re: 好きな数学の問題2

#13

投稿記事 by lbfuvab » 7年前

ぞんざいな問題ですが一題。

問.
exp(1) = (n=0→∞)Σ(1/n!)
e = (n→∞)lim(1+1/n)n
とする。
また、両者が同値かどうかは保証しない。

(1) exp(1)とeが収束する事を示せ。
(2)  exp(1) = eとなる事を示せ。

解答はまた後日。

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kimuchi
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Re: 好きな数学の問題2

#14

投稿記事 by kimuchi » 7年前

こんにちは。ご無沙汰しております。

(1)はどうにも分かりませんでしたorz

(2)
(1+1/n)n
[tab=60] = 1 + nC1*1/n + nC2*1/n2 + ・・・ + nCn*1/nn
[tab=60] = 1 + 1 + (1-1/n)/2! + ・・・ + [(1-1/n)(1-2/n)・・・{1-(n-1)/n}]/(n-1)!

∴limn→∞(1+1/n)n
[tab=60] = 1 + 1 + 1/2! + ・・・
[tab=60] = Σn=01/n! //

これで良いのか疑わしいです・・・

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lbfuvab
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Re: 好きな数学の問題2

#15

投稿記事 by lbfuvab » 7年前

(1)連続性の公理「単調増加で上に有界な数列は収束する」を使いましょう。

(2)は概ね正しいのですが、n→∞をそのまま扱うのではなく(N→∞)Σ1/N! → 0で有限部分列の部分を切り出してみましょう。

眠いので自分でも何書いてるか良く分からないですorz
また明日ぐらいに加筆しますね。

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lbfuvab
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Re: 好きな数学の問題2

#16

投稿記事 by lbfuvab » 7年前

前の問題は取消させて下さい。面白くなかったです、やっぱり。
(1)は自明だし、(2)は面倒くさいだけでした。

行列関係から2題です。1番は有名なので線型代数の本には必ず載っている問題です。

問1.n次元直交行列AによるRn→Rnの写像をfとする
任意のn次元ベクトルa,bに対して
a・b = f(a)・f(b)
なる事を示せ(a・bはaとbの内積を表す)
ちなみに直交行列とはA・At=Eなる行列である(AtはAの転置行列)

問2.n次正方行列Aが任意のn次正方行列Bに対して
AB = BAならば
A =αEなることを示せ(αは実数)

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lbfuvab
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Re: 好きな数学の問題2

#17

投稿記事 by lbfuvab » 7年前

問1.
Aの第i列目をαとして表す。Aは直交行列より
A-1=Atより
At・A = E
よってl,m≦nなる自然数l,mに対して
α[l]・α[m] = δl,m (δはクロネッカーのデルタ) ・・・①

今、a,bの第i成分をa,bと表せば
Aa = Σa[k]α[k]
Ab = Σb[k]α[k]
よって①から
Aa・Ab = Σa[k]b[k]
=a・b
よって命題成立

問2.
Aの(i,j)成分をai,jとする
B=(b・δi,j)とすると(b∈R)(追記:要は対角行列)
AB =(ai,j・b[j])
BA =(ai,j・b)
Bの対角成分b[1]~b[n]は互いに独立に動くので
Aは対角行列である。
即ち、実数列{a[n]}を用いてA=(a・δi,j)と書ける。

今、Eの1行目とm行目を入れ替えた行列をEmとし
B=Emとすれば
a[1] = a[m]
mを2~nで動かせば
a[1] = a[2] = ・・・ = a[n]
よって
A = a[1]Eと表せる。
よって命題成立
最後に編集したユーザー lbfuvab on 2011年8月04日(木) 15:08 [ 編集 1 回目 ]

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kimuchi
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Re: 好きな数学の問題2

#18

投稿記事 by kimuchi » 7年前

おーっ何やっているのか全然分からないです。

これって高校の知識で解けるものなんですか?(汗)

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lbfuvab
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Re: 好きな数学の問題2

#19

投稿記事 by lbfuvab » 7年前

実は出来るんです。数IIICです。

問1はn次で取ってるから少しマズいのですが、問2は一応次元数が決まってますから良いはずです。

クロネッカーのデルタは答案の中で定義すればいいのです。
↓こんな風に
δi,j =
{1 (i=jの時)}
{0 (i≠jの時)}

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lbfuvab
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Re: 好きな数学の問題2

#20

投稿記事 by lbfuvab » 7年前

日記で書いた問題の簡単版です。
nを自然数とする時
(k=1~n)Σ1/k^2 + 1/(n+1) < π^2/6 < (k=1~n)Σ1/k^2 + 1/n
を示せ。
但し、(n=1→∞)Σ1/n^2 = π^2/6
は既知とする

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