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こんばんは。お久しぶりです。
Ｃ言語を勉強していて分からないことが出てきましたので、
質問させていただきます。
char str[20]　は文字（全角）が９文字しか打てないのはなぜですか？
char str[20]　は、char str1～str20　までの個数をまとめたものではないのですか？

ＡＳＣＩＩはアメリカの標準の文字コードです。

ですから、日本語の場合ＡＳＣＩＩコードに日本語コードは含まれていなくて、日本語の漢字はchar型の１バイトでは表現できず２バイト以上を使用しています。なのでchar[20]では９文字(くらい)までなんではないでしょうか？

(このような文字をマルチバイト文字といいます。)

> char str[20]　は文字（全角）が９文字しか打てないのはなぜですか？

str[0]～str[19]（str[1]～str[20]じゃないですよ）の20バイトを
定義したとき、実際の文字列として有効なのは最大19バイトで、
文字列の最後には終端を示す'\0'が入ります。
最大19バイトの中には、2バイト文字は最大9文字入ります。

バイナリエディタというものを触ってみてはいかがでしょう。
文字コードShift_JISでは、「あ」を「82 A0」で表す事がわかると思います。