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非線形方程式 3分法
Posted: 2008年12月12日(金) 20:04
by しょしょしょしんしゃ
学校の課題です。
非線形方程式を2分法または3分法(分割数を3にした場合）
を用いて、プログラムを作成して、25の3乗根を求めよ。（x^3-25=0)
という問題で、2分法はできましたが、3分法の求め方が分かりません。
2分法は以下の通りです。
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define f(x) ((x)*(x)*(x)-25)
int main(void){
float a=2.0,b=3.0,c;
do{
c=(a+b)/2.0;
if(fabs(f(c))<=1.0e-7)break;
if(f(a)*f(c)<0)b=c;
if(f(b)*f(c)<0)a=c;
}while((b-a)>=1.0e-6);
printf("方程式x^3-25=0の解は%fです\n",c);
return 0;
}
実行結果は 方程式x^3-25=0の解は2.924108です。
という風になり、3分法も、これに近い値で実行できる。
よろしくお願いします。
Re:非線形方程式 3分法
Posted: 2008年12月12日(金) 20:52
by 初級者
３分法について習った内容を教えてください。
Re:非線形方程式 3分法
Posted: 2008年12月12日(金) 21:28
by non
>}while((b-a)>=1.0e-6);
この終了条件は、どうして必要なんだっけ？
>if(fabs(f(c))<=1.0e-7)break;
こっちがあるなら必要がないような気がするけど。もし、振動するのなら、ループ回数を
制限するのかな？でも、３乗根だから収束すると思うけどな。
ただ、有効桁数が1.0e-7まで取れるか心配だけど。
doubleだと単独だと１５桁ぐらいだけど、３乗だから、どうだっけ？
Re:非線形方程式 3分法
Posted: 2008年12月12日(金) 23:06
by しょしょしょしんしゃ
>３分法について習った内容を教えてください。
えーと 申し訳ないのですが、3分法は 高校、大学で習った覚えがないのですが・・・。
2分法は、平均値の定理で 習った覚えはありますが....
>}while((b-a)>=1.0e-6);
>この終了条件は、どうして必要なんだっけ？
cを計算しf(c)=0ならば解が得られたらのでdo-while文からぬける。
でもきれいに0になるわけではないので、小さくなったらぬけるようにしてあります。
>if(fabs(f(c))<=1.0e-7)break;
これはaとbがほぼ同じになったら計算をやめて解とする。らしいです。
この部分はたぶん、2分法特有じゃないんですか？
Re:非線形方程式 3分法
Posted: 2008年12月12日(金) 23:21
by box
> えーと 申し訳ないのですが、3分法は 高校、大学で習った覚えがないのですが・・・。
ていうか、そもそも３分法というのがあるんでしょうか。
収束条件の話は、どちらか片方があればじゅうぶんだと思います。
Re:非線形方程式 3分法
Posted: 2008年12月13日(土) 09:30
by non
３分法があるかないかは兎も角、
要は、abの区間を３つに分けて、仮にそれをcdとすると、
a-c区間を通る場合は、b=c
d-b区間を通る場合は、a=d
c-d区間を通る場合は、a=c、b=d
にすればいいでしょう。
while(1)にして、収束条件は1.0e-5で。
Re:非線形方程式 3分法
Posted: 2008年12月13日(土) 10:34
by box
あ～なるほど、そういうことですね。
判定のたびに区間が1/3になるので、
二分法より速く収束するのですね。
Re:非線形方程式 3分法
Posted: 2008年12月14日(日) 13:27
by しょしょしょしんしゃ
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define f(x) ((x)*(x)*(x)-25)
int main(void){
float a=2.0,b=3.0,c,d;
do{
d=(a+b)/2.0;
if(fabs(f(d))<=1.0e-5)break;
if(f(a)*f(c)<0)b=c;
if(f(d)*f(b)<0)a=d;
if(f(c)*f(d)<0)a=c,b=d;
}while(1);
printf("方程式x^3-25=0の解は%fです\n",d);
return 0;
}
つまり、こうゆうことなのですか？
ちょっと話についていけなくてすみません。
>要は、abの区間を３つに分けて、仮にそれをcdとすると、
うまく abの区間をわけることができませんでした・・。
Re:非線形方程式 3分法
Posted: 2008年12月14日(日) 13:59
by non
c=a+(b-a)/3,d=a+(b-a)*2/3
Re:非線形方程式 3分法
Posted: 2008年12月14日(日) 14:12
by box
＞うまく abの区間をわけることができませんでした・・。
高校の数学Ⅰあたりで学ぶ「内分の公式」について調べてみると、
nonさんが示してくださった式の意味がわかるかもしれません。
Re:非線形方程式 3分法
Posted: 2008年12月14日(日) 15:14
by しょしょしょしんしゃ
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define f(x) ((x)*(x)*(x)-25)
int main(void){
float a=2.0,b=3.0,c=a+(b-a)/3,d=a+(b-a)*2/3;
int count=0;
do{
d=(a+b)/2.0;
if(fabs(f(d))<=1.0e-5)break;
if(f(a)*f(d)<0)b=d;
if(f(b)*f(d)<0)a=d;
printf("%d方程式x^3-25=0の解は%fです\n",count,d);
count++;
}while(1);
printf("方程式x^3-25=0の解は%fです\n",d);
return 0;
}
こんなかんじですかね？
しかし、2分法の場合は２０回繰り返されて、こちらのプログラマムは１８回繰り返されました。
数は少なくなったのはいいのですが、これでよろしいのでしょうか？
Re:非線形方程式 3分法
Posted: 2008年12月14日(日) 15:48
by box
> float a=2.0,b=3.0,c=a+(b-a)/3,d=a+(b-a)*2/3;
ここでせっかく求めた d の値を、
> d=(a+b)/2.0;
ここで上書きしてはいけません。
ていうか、２分法のところで
> c=(a+b)/2.0;
を do 文によるループの「中に」書いた理由がおわかりですか？
Re:非線形方程式 3分法
Posted: 2008年12月15日(月) 00:14
by しょしょしょしんしゃ
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define f(x) ((x)*(x)*(x)-25)
int main(void){
float a=2.0,b=3.0,c,d;
do{
c=a+(b-a)/3;
d=a+(b-a)*2/3;
if(fabs(f(d))<=1.0e-5)break;
if(f(a)*f(c)<0)b=c;
if(f(d)*f(b)<0)a=d;
if(f(c)*f(d)<0)a=c,b=d;
}while(1);
printf("方程式x^3-25=0の解は%fです\n",d);
return 0;
}
こんな感じでいいでしょうか？ 実行は12回繰り返しました。
ご指摘があれば、直します。
長い間、御苦労かけました。
boxさん,nonさんには、多大なご協力感謝しています。
Re:非線形方程式 3分法
Posted: 2008年12月15日(月) 08:37
by non
>if(fabs(f(d))<=1.0e-5)break;
ｃに収束分も加えること。