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include <DxLib>とinclude "DxLib"の違いは何ですか？
どちらでも実行できました。

簡単にまとめてしまえば、
#include<標準に搭載してあるインクルードファイル>
#include"任意の場所（ファイルのある場所）に保存されているヘッダファイル"
の違いです。

DXライブラリの場合、これは標準搭載…最初からwindowsに入っているインクルードファイルではない為、
普通は""を用いるのです。
ORACLE ユーザーズガイド

対象のファイルを探す際の優先順位が変わるという認識です（＾＾）

<>（山括弧）→探査パスにカレントディレクトリを含めない
""（ダブルクォート）→探査パスにカレントディレクトリを含める
http://piyopiyocs.blog115.fc2.com/blog-entry-757.html

よって、例えば、

DxLib.hというファイルが、
　C:\DxLib_VC\プロジェクトに追加すべきファイル_VC用にあって、
自分が作っているソースが
　C:\MyProject\Test.cppだとすると、

#inlcude "DxLib.h"も
#include <DxLib.h>も
どちらでも実行できますが、

#include <DxLib.h>の方が、探索時間が短くて済む、という認識です。

Ketty さんが書きました:対象のファイルを探す際の優先順位が変わるという認識です（＾＾）

<>（山括弧）→探査パスにカレントディレクトリを含めない
""（ダブルクォート）→探査パスにカレントディレクトリを含める

カレントディレクトリではありません。

カレントディレクトリに hoge.h があり、
src/hoge.c が #include "hoge.h" を含む時、
gcc src/hoge.c や cl src\hoge.c はエラーになります

hoge.h を src の下に置くと、エラーになりません。
カレントディレクトリではなく、#includeを含むソースフィルのディレクトリです。

http://kikakurui.com/x3/X3010-2003-01.html#117
JISの規格書を見ると処理系定義。

gcc だと、https://gcc.gnu.org/onlinedocs/cpp/Include-Syntax.html
VC++ だと、https://msdn.microsoft.com/ja-jp/library/36k2cdd4.aspx