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C++で
ウィンドウサイズを自動で最大化させる
もしくは、最大化をクリックしたら次の処理を実行させる
といったことはできますか？

縛り内容はwindows系のヘッダーはインクルードできないです(windows.hなど)

よろしくお願いします！！

ヘッダをインクルードしなくても、自分で適切なプロトタイプ宣言や定義を書くことでAPI関数、定数、構造体などを使うことができるので、多分できるでしょう。

もしくは、それらのライブラリのヘッダからwindows.hなどがインクルードされていなければ、SDLやQtなどのライブラリを使うことでももしかしたらできるかもしれない気がしました。(知りません)

最大化したり、最大化が押されたか判定する対象は自プロセスのウィンドウですか？それとも他のプロセスのウィンドウですか？
動作対象のOSは何ですか？

ウィンドウはＯＳの機能ですからOSのAPIを使わずには操作できませんね。
Windowsの場合、windows.hがWindowsOSのAPIに容易にアクセスする手段ですから、それを使えないというのは面倒なだけで意味がある縛りじゃないです。
結局、windows.hを使わなくてもWindowsOSのAPIは呼び出すわけですから。
なぜ使えないかを説明した頂いたほうが良いでしょう。

課題でwindows系のヘッダーをインクルードできないんです！

自プロセスのウィンドウで
windowsを使っています！

すいません。よく意味がわかりません。
現状出来ているソースコードを貼っていただくのが一番早そうです。