解決いたしました！
どうやらISLe氏の通り、二重の頂点が問題だったみたいです。
ミラー化の時に重なってしまったものがそのままになっていました。
こうしたことで思わぬトラブルが起こってしまうものなんですね。
質問に答えていただいた方、ファイルをダウンロードしていただいた方、本当にありがとうございました！

こちらがその問題のblenderファイルになります。

お待たせしました。二回に分けて投稿させていただきます。 問題は添付ファイルのMONSTERのほうです。
Export Skin Weightsにチェックを入れて出力すると、添付の画像のように画面上に赤い背景の文字でエラーが出てしまいます。
MONSTERはCATを少し改造したものなのですが、CATはスキンごと出力できたのに、なぜかMONSTERの方はできません。