img= Image(pass);

MoveImage::MoveImage() {
	img = Image();
}

MoveImage::MoveImage(const char* const pass){
	img= Image(pass);
}

MoveImage::MoveImage() : img() {
}

MoveImage::MoveImage(const char* const pass) : img(pass) {
}

#include <iostream>

#define TRUE 1

int LoadGraph(const char* path) {
	static int id = 0;
	std::cout << "load " << path << " as id " << id << std::endl;
	return id++;
}

int DeleteGraph(int handle) {
	std::cout << "delete id " << handle << std::endl;
	return 0;
}

int DrawGraph(int x, int y, int handle, int trans) {
	std::cout << "draw id " << handle << " to (" << x << ", " << y << ") (trans = " << trans << ")" << std::endl;
	return 0;
}

class Image {
private:
	int handle,px, py;
public:
	Image();
	Image(const char* const pass);
	~Image();
	int Draw();
	void move();
};

Image::Image() : handle(NULL), px(0), py(0){
}

Image::Image(const char* const pass) : Image() {
	handle = LoadGraph(pass);
}

Image::~Image() {
	DeleteGraph(handle);
}

int Image::Draw() {
	DrawGraph(px,py, handle, TRUE);
	return 0;
}

void Image::move() {
	px++;
}

class MoveImage {
private:
	Image img;
public:
	MoveImage();
	MoveImage(const char* const pass);
	~MoveImage();
	int Draw();
};

#ifndef IMPROVE
MoveImage::MoveImage() {
	img = Image();
}

MoveImage::MoveImage(const char* const pass){
	img= Image(pass);
}
#else
MoveImage::MoveImage() : img() {
}

MoveImage::MoveImage(const char* const pass) : img(pass) {
}
#endif

MoveImage::~MoveImage() {
}

int MoveImage::Draw() {
	img.move();
	img.Draw();
	return 0;
}

int main(void) {
	Image img("res/image/gazou.png");
	MoveImage move("res/image/gazou.png");

	img.Draw();
	move.Draw();

	return 0;
}

load res/image/gazou.png as id 0
load res/image/gazou.png as id 1
delete id 1
draw id 0 to (0, 0) (trans = 1)
draw id 1 to (1, 0) (trans = 1)
delete id 1
delete id 0

load res/image/gazou.png as id 0
load res/image/gazou.png as id 1
draw id 0 to (0, 0) (trans = 1)
draw id 1 to (1, 0) (trans = 1)
delete id 1
delete id 0

画像が表示されないのは、
[code=Cpp]
img= Image(pass);
[/code]という行において、
[list=1]
[*]Image(pass)により、画像が読み込まれ、Imageクラスのhandleに格納される
[*]デフォルトの代入演算子により、1で作られたImageクラスのメンバ変数(handle, px, py)がimgにコピーされる
[*]Image(pass)は用済みなので消滅する。このときデストラクタが実行され、handleに格納された画像が消去される[/list]
という動作が実行されるからですね。
その結果、img.handleも消去された画像のハンドルなので、描画されません。

このコードは[url=https://stackoverflow.com/questions/4172722/what-is-the-rule-of-three]The Rule of Three[/url]に違反しています。
違反を解消するには、Imageクラスの代入演算子やコピーコンストラクタを明示的に定義し、ハンドルの値ではなく画像をコピーするようにするといいでしょう。
(残念ながら今のところ画像をコピーするうまい方法はよくわかりませんでした)

とりあえずこの不都合を解消するには、MoveImageクラスのコンストラクタで代入演算子を使わず直接Imageの初期化をするといいでしょう。
すなわち、
[code=Cpp]
MoveImage::MoveImage() {
img = Image();
}

MoveImage::MoveImage(const char* const pass){
img= Image(pass);
}
[/code]を
[code=Cpp]
MoveImage::MoveImage() : img() {
}

MoveImage::MoveImage(const char* const pass) : img(pass) {
}
[/code]とするといいでしょう。

このことを確かめるため、以下のようなコードを用意しました。
[spoil][code=Cpp]
#include <iostream>

#define TRUE 1

int LoadGraph(const char* path) {
static int id = 0;
std::cout << "load " << path << " as id " << id << std::endl;
return id++;
}

int DeleteGraph(int handle) {
std::cout << "delete id " << handle << std::endl;
return 0;
}

int DrawGraph(int x, int y, int handle, int trans) {
std::cout << "draw id " << handle << " to (" << x << ", " << y << ") (trans = " << trans << ")" << std::endl;
return 0;
}

class Image {
private:
int handle,px, py;
public:
Image();
Image(const char* const pass);
~Image();
int Draw();
void move();
};

Image::Image() : handle(NULL), px(0), py(0){
}

Image::Image(const char* const pass) : Image() {
handle = LoadGraph(pass);
}

Image::~Image() {
DeleteGraph(handle);
}

int Image::Draw() {
DrawGraph(px,py, handle, TRUE);
return 0;
}

void Image::move() {
px++;
}

class MoveImage {
private:
Image img;
public:
MoveImage();
MoveImage(const char* const pass);
~MoveImage();
int Draw();
};

#ifndef IMPROVE
MoveImage::MoveImage() {
img = Image();
}

MoveImage::MoveImage(const char* const pass){
img= Image(pass);
}
#else
MoveImage::MoveImage() : img() {
}

MoveImage::MoveImage(const char* const pass) : img(pass) {
}
#endif

MoveImage::~MoveImage() {
}

int MoveImage::Draw() {
img.move();
img.Draw();
return 0;
}

int main(void) {
Image img("res/image/gazou.png");
MoveImage move("res/image/gazou.png");

img.Draw();
move.Draw();

return 0;
}
[/code][/spoil]
IMPROVEを定義せずにコンパイルした場合、もとのコードが実行され、
[code=text]
load res/image/gazou.png as id 0
load res/image/gazou.png as id 1
delete id 1
draw id 0 to (0, 0) (trans = 1)
draw id 1 to (1, 0) (trans = 1)
delete id 1
delete id 0
[/code]と出力されるので、消去された画像を描画しようとしていることがわかります。
一方、IMPROVEを定義してコンパイルした場合、改善したコードが実行され、
[code=text]
load res/image/gazou.png as id 0
load res/image/gazou.png as id 1
draw id 0 to (0, 0) (trans = 1)
draw id 1 to (1, 0) (trans = 1)
delete id 1
delete id 0
[/code]と出力されるので、描画する画像は消去されていないことがわかります。

#pragma once
#include "DxLib.h"
class Image {
private:
	int handle,px, py;
public:
	Image();
	Image(const char* const pass);
	~Image();
	int Draw();
	void move();
};

#include "Image.h"

Image::Image() : handle(NULL), px(0), py(0){
}

Image::Image(const char* const pass) : Image() {
	handle = LoadGraph(pass);
}

Image::~Image() {
	DeleteGraph(handle);
}

int Image::Draw() {
	DrawGraph(px,py, handle, TRUE);
	return 0;
}

void Image::move() {
	px++;
}

#pragma once
#include "Image.h"
class MoveImage {
private:
	Image img;
public:
	MoveImage();
	MoveImage(const char* const pass);
	~MoveImage();
	int Draw();
};

#include "MoveImage.h"

MoveImage::MoveImage() {
	img = Image();
}

MoveImage::MoveImage(const char* const pass){
	img= Image(pass);
}

MoveImage::~MoveImage() {
}

int MoveImage::Draw() {
	img.move();
	img.Draw();
	return 0;
}

#include "DxLib.h"
#include "Image.h"
#include "MoveImage.h"

int WINAPI WinMain(HINSTANCE, HINSTANCE, LPSTR, int) {
	SetGraphMode(640,480,32);
	ChangeWindowMode(TRUE), DxLib_Init(), SetDrawScreen(DX_SCREEN_BACK);

	Image img("res/image/gazou.png");
	MoveImage move("res/image/gazou.png");
	while (!ScreenFlip() && !ProcessMessage() && !ClearDrawScreen()) {
		img.Draw();
		move.Draw();
	}
	DxLib_End();	//おしまい
}

画像が表示されません。
PCはWin10 home,開発環境はVisual Studio 2015 Professionalで、c++を使用しています。

画像情報を保存するImageというクラスを自作し、使っています。（以下の通り、実際に動かなかったコードから、使用していないものを省いています。）

Image.h
[code=Cpp]
#pragma once
#include "DxLib.h"
class Image {
private:
int handle,px, py;
public:
Image();
Image(const char* const pass);
~Image();
int Draw();
void move();
};
[/code]

Image.cpp
[code=Cpp]
#include "Image.h"

Image::Image() : handle(NULL), px(0), py(0){
}

Image::Image(const char* const pass) : Image() {
handle = LoadGraph(pass);
}

Image::~Image() {
DeleteGraph(handle);
}

int Image::Draw() {
DrawGraph(px,py, handle, TRUE);
return 0;
}

void Image::move() {
px++;
}
[/code]

さらに、Imageクラスのインスタンスを１つメンバー変数に持ち、これを自動で動かしながら表示するクラスMoveImageを作成しました。（こちらも簡略化しています。）

MoveImage.h
[code=Cpp]
#pragma once
#include "Image.h"
class MoveImage {
private:
Image img;
public:
MoveImage();
MoveImage(const char* const pass);
~MoveImage();
int Draw();
};
[/code]

MoveImage.cpp
[code=Cpp]
#include "MoveImage.h"

MoveImage::MoveImage() {
img = Image();
}

MoveImage::MoveImage(const char* const pass){
img= Image(pass);
}

MoveImage::~MoveImage() {
}

int MoveImage::Draw() {
img.move();
img.Draw();
return 0;
}
[/code]

これらのクラスを使おうとしたところ、Imageは正しく表示されましたが、MoveImageが表示されません。
表示したコードは以下の通りです。

Main.cpp
[code=Cpp]
#include "DxLib.h"
#include "Image.h"
#include "MoveImage.h"

int WINAPI WinMain(HINSTANCE, HINSTANCE, LPSTR, int) {
SetGraphMode(640,480,32);
ChangeWindowMode(TRUE), DxLib_Init(), SetDrawScreen(DX_SCREEN_BACK);

Image img("res/image/gazou.png");
MoveImage move("res/image/gazou.png");
while (!ScreenFlip() && !ProcessMessage() && !ClearDrawScreen()) {
img.Draw();
move.Draw();
}
DxLib_End(); //おしまい
}
[/code]
これを行うと、下のように初めに左上に画像が表示されて、それが右に動いていくはずなのですが、動くはずの画像が表示されないのです。
○
○　○
○　　○
○　　　○
○　　　　○
↑Image ↑MoveImage

どこが悪いのかわかりませんが、Imageクラスをメンバーに持つと、それが表示できないのです。
画像ハンドルには0でない数値がきちんと入っているので、LoadGraph出来ていないということはないと思います。
また、調べてみて多かったビット深度の問題も確認しました。（そもそもImageは表示できるので、そこは大丈夫だと思います。）

不足している情報があればお教えください。長文失礼いたしました。よろしくお願いします。