#include <stdio.h>  // scanf, printf
#include <math.h>   // sqrt

double f(double x) { return sqrt(1 - x*x); }

int main(void)
{
    int n;
    while (scanf("%d", &n) == 1) {          // n を入力
        double x = 0;
        double S = 0;
        double dx = 1.0 / n;                // (1)
        while (x < 1) {                     // ループ開始
            double y1 = f(x);
            x = x + dx;                     // (2)
            double y2 = f(x);
            double ds = (y1 + y2) * dx / 2; // (3)
            S = S + ds;                     // (4)
        }                                   // ループ終了
        double PI = S * 4;
        printf("PI = %g\n", PI);            // PI を表示
    }
    return 0;
}

256    <-- 入力
PI = 3.14131
1024   <-- 入力
PI = 3.14156
4096   <-- 入力
PI = 3.14159
.      <-- 入力

#include <stdio.h>  // scanf, printf
#include <math.h>   // sqrt

double f(double x) { return sqrt(1 - x*x); }

int main(void)
{
    int n;
    while (scanf("%d", &n) == 1) {
        double dx = 1.0 / n;
        double S = (f(0) + f(1)) / 2;
        for (int i = 1; i < n; i++)
            S += f(dx * i);
        double PI = S * dx * 4;
        printf("PI = %g\n", PI);
    }
    return 0;
}

∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup]√(1 - x[sup]2[/sup]) dx を台形近似を利用した区分求積法で求めるんですね。
[code=c]
#include <stdio.h> // scanf, printf
#include <math.h> // sqrt

double f(double x) { return sqrt(1 - x*x); }

int main(void)
{
int n;
while (scanf("%d", &n) == 1) { // n を入力
double x = 0;
double S = 0;
double dx = 1.0 / n; // (1)
while (x < 1) { // ループ開始
double y1 = f(x);
x = x + dx; // (2)
double y2 = f(x);
double ds = (y1 + y2) * dx / 2; // (3)
S = S + ds; // (4)
} // ループ終了
double PI = S * 4;
printf("PI = %g\n", PI); // PI を表示
}
return 0;
}
[/code]
実行結果
[code=text]
256 <-- 入力
PI = 3.14131
1024 <-- 入力
PI = 3.14156
4096 <-- 入力
PI = 3.14159
. <-- 入力
[/code]
このアルゴリズムでは、y1 と y2 を求めるのに
同じ f(x) の計算を 2回行っており、無駄があります。
n が 2のべき乗でないとき、dx は誤差を持ち、
x = x + dx で、x に誤差が蓄積し、
n回ループを回っても、x が 1 にならず、
もう一回余分にループを回る可能性があります。

ということで別解です。
[code=c]
#include <stdio.h> // scanf, printf
#include <math.h> // sqrt

double f(double x) { return sqrt(1 - x*x); }

int main(void)
{
int n;
while (scanf("%d", &n) == 1) {
double dx = 1.0 / n;
double S = (f(0) + f(1)) / 2;
for (int i = 1; i < n; i++)
S += f(dx * i);
double PI = S * dx * 4;
printf("PI = %g\n", PI);
}
return 0;
}
[/code]

[offtopic]>台形近似を利用した区分求積法

というのが，どんな話なのかはについては大丈夫なのですか？
その話自体がわからないなら，区分求積法について調べるしかないのではないでしょうか．

話がわかるなら，単にその式を書くだけですし．
（例えば (3)なんて，台形の面積の計算式そのものですよね）[/offtopic]

情報関係のアルゴリズムの問題なのですが、わからないので教えてもらえないでしょうか
問題
半径１の円の方程式は、ｘ＾２＋ｙ＾２＝１で表される。
この式から、ｙ＝√（１－ｘ＾２）（０≦ｘ≦１）で表される図形は、原点（０，０）を中心とする半径１の円の第一象限の部分であることがわかる。
したがって、定積分∫1 ,0√（１－ｘ＾２）ｄｘは、円の第一象限の部分の面積表す。
この面積の台形近似を利用した区分求積法により求め、その値をもとにして円周率πを求めるアルゴリズムを考えた。このとき、流れ図の中の空欄①～⑤に入れるべきものを図にならって記入し、流れ図を完成しなさい。ただし、ループ開始端野式は、繰り返しの終了条件を示す。
で、こっからアルゴリズムです。
はじめ
↓
関数ｆ（ｘ）＝√（１－ｘ＾２）
↓
ｎを入力
↓
ｘ←０
S←０
↓
ｄｘ←①
↓
ループ開始
ｘ≧１
↓
ｙ１←ｆ（ｘ）
↓
ｘ←②
↓
ｙ２←ｆ（ｘ）
↓
ｄｓ←③
↓
ｓ←④
↓
ループ終了
↓
PI←⑤
↓
PIを表示
↓
おわり

なんですが、①はわかるのですが、それ以降が何がなんだかわかりません
答えは
①１÷ｎ②ｘ＋ｄｘ③（ｙ１＋ｙ２）×ｄｘ÷２④S＋ｄｓ⑤S×４