C++でもenum型しか使ったことがなかったので、もう一度多言語も含めて勉強したいと思います＞＜；

C#だと規則が違うのですね；
そちらも勉強したいと思います。

ありがとうございました。

C#におけるenumはC++におけるenum classです。
つまり，型自体が名前空間になっています。
それに対して，Cのenumやenum classでないC++のenumは型が名前空間になっていません。

DIRECTION型の値を扱いたいのであれば，DIRECTION型として宣言します。
また，DIRECTIONI型の列挙値は，DIRECTION.DIRECTION_DOWNのように使います。
[url=https://docs.microsoft.com/ja-jp/dotnet/csharp/programming-guide/enumeration-types]列挙型 (C# プログラミングガイド) | Microsoft Docs[/url]
[url=http://ufcpp.net/study/csharp/st_enum.html]列挙型 - C#によるプログラミング入門 | ++C++; // 未確認飛行 C[/url]
[offtopic]C#での名前は，Privateなフィールド (と引数・変数) を除いて，通常はPascal形式 (=単語の頭を大文字にして繋げる方式，先頭語も大文字) を使います。
なので，DIRECTIONではなくDirectionが一般的です。
[url=https://docs.microsoft.com/ja-jp/dotnet/standard/design-guidelines/capitalization-conventions]大文字の使用規則 | Microsoft Docs[/url] | [url=https://msdn.microsoft.com/ja-jp/library/ms229043(v=vs.85).aspx]大文字の使用規則[/url](msdn.microsoft.com/VS8.5)

また，重複するPrefixは付けないのが一般的なので，Direction.Downのように定義します。
[url=https://docs.microsoft.com/en-us/visualstudio/code-quality/ca1712-do-not-prefix-enum-values-with-type-name]CA1712: Do not prefix enum values with type name | Microsoft Docs[/url] | [url=https://msdn.microsoft.com/ja-jp/library/ms182237.aspx]CA1712: enum 値を型名のプレフィックスにしません[/url](msdn.microsoft.com)[/offtopic]

public class enum_DIRECTION : MonoBehaviour {

     public enum DIRECTION {
        Invalid              // 0を格納
      , DIRECTION_DOWN       // 下向き(正面)
      , DIRECTION_DOWNLEFT   // 左下
      , DIRECTION_LEFT       // 左
      , DIRECTION_UPLEFT     // 左上
      , DIRECTION_UP         // 上
      , DIRECTION_UPRIGHT    // 右上
      , DIRECTION_RIGHT      // 右
      , DIRECTION_DOWNRIGHT  // 右下
    }
}

public class Player : MonoBehaviour {
    public enum_DIRECTION enum_direction = default(enum_DIRECTION);

    void Start() {
        enum_direction.DIRECTION = DIRECTION_DOWN; // エラー
    }
}

ずっとDXライブラリを触っていて、最近Unityにも手を出しました。

C++とUnity(C#?)では使い方が全然違うようで全く分かりません；

動かないし、分からんと書いたのでさんこうになるかわかりませんが…
[code]
public class enum_DIRECTION : MonoBehaviour {

public enum DIRECTION {
Invalid // 0を格納
, DIRECTION_DOWN // 下向き(正面)
, DIRECTION_DOWNLEFT // 左下
, DIRECTION_LEFT // 左
, DIRECTION_UPLEFT // 左上
, DIRECTION_UP // 上
, DIRECTION_UPRIGHT // 右上
, DIRECTION_RIGHT // 右
, DIRECTION_DOWNRIGHT // 右下
}
}

public class Player : MonoBehaviour {
public enum_DIRECTION enum_direction = default(enum_DIRECTION);

void Start() {
enum_direction.DIRECTION = DIRECTION_DOWN; // エラー
}
}
[/code]

C#では継承もできないしtypedefも使えないみたいで、classにして扱うと調べたところにあったのでこの形にしました。

やりたいことはプレイヤースクリプトが呼ばれたときに正面向きであるDIRECTION_DOWNを設定したいです。

よろしくお願いします。