今日微積の試験があったんですよ。

まぁもともとドＳな先生なのであんまテストに期待はしてなかったんですけど、ちょっとぐらいは優しい所もあるかなぁ～と思ってたんですね。
せめて１問ぐらいちょっとは手が出る問題あるかなぁ～みたいな。

で、テストが始まって、準教授が黒板に文字を書く

問１
R⁴の以下の領域Dを考える
D:={x₁,x₂,x₃,x₄| x_i>0,Σx_i≦1(1≦i≦4)}

この時f(x₁,x₂,x₃,x₄)=x₁x₂²x₃³x₄⁴

の最大値を求めよ

は～い、来ました。いきなりグラフが５次元！想像もできない～。
せんせ～、授業でやってた時は最大でも４次元だったじゃないですか～


…ま、そんな問題もありますよね。だってあの準教授「ドＳ」で有名ですし
よし、次々。

問２
次のＲ³の領域Ｄであらわされる立体の…

な～んだ立体なら３次元だよね～よし、この問題はもらった!

重心を求めよ
D:={x,y,z|a(x²+y²)≦z≦bx+c,a>0,4ac+b²>0}

・・・ちょい！
重心とか講義で一回も触れてねーだろ！
しかも何気に、放物面を斜めの平面で切り取ってやがるしｗ

…よし、次の問題！

問題は以上

…(；ﾟДﾟ)
そりゃいくらなんでもないでしょｗ
え～５０点５０点！
（１）（２）とかもないの？！

とか半分絶望に打ちひしがれてたらその準教授が話し始める
「ま、今回の問題は相当簡単なので、すぐ終わるでしょ。
４０分したら退室していいのでさっさと済ませてください～。」

教室にいる一同∑(!?￣Д￣)ﾟДﾟ)ﾟДﾟ)ﾟДﾟ)…（数秒後室内爆笑）
まぁ相当簡単なのは置いといてすぐ終わることは間違いないようでした。
少なくとも問題の理解を諦めるのに５分はかからなかったですね。

さ～て単位が楽しみだｗ
（実は問１は４０分位に天使が舞い降りてきて、結構いけましたけどｗ）
この人は前期も
円周率が3.1415≦π≦3.1416であることを証明せよ
とか無茶ぶりだったんですよね～

何が言いたいかっていうと、あんまりやたらと人のやることに簡単簡単と言うなという事ｗ

こういう教員が私の大学にも居ました。
生徒に総スカンを喰らい。学生課に猛烈な抗議があり。
最後の授業が教員からの別れの言葉でした。ふと思い出してしまいました。

問1に挑戦してみました。

ラグランジュの未定乗数法を使う。
X = (x₁, x₂, x₃, x₄)とする。

g(X) = x₁ + x₂ + x₃ + x₄ - 1 = 0
を導入し、

h(X; L) = f(X) - L g(x)
の極値を求める。

以下の連立方程式が得られる。
∂h/∂x₁ = x₂²x₃³x₄⁴ - L = 0 (1)
∂h/∂x₂ = 2x₁x₂x₃³x₄⁴ - L = 0 (2)
∂h/∂x₃ = 3x₁x₂²x₃²x₄⁴ - L = 0 (3)
∂h/∂x₄ = 4x₁x₂²x₃³x₄³ - L = 0 (4)
∂h/∂L = -g(X) = -(x₁ + x₂ + x₃ + x₄ - 1) = 0 (5)

(1)～(4)より
L = x₂²x₃³x₄⁴ = 2x₁x₂x₃³x₄⁴ = 3x₁x₂²x₃²x₄⁴ = 4x₁x₂²x₃³x₄³
x_i > 0 なので、
x₂ = 2x₁
2x₃ = 3x₂ ⇒ x₃ = 3x₁
3x₄ = 4x₃ ⇒ x₄ = 4x₁

(5)より、
10x₁ = 1

∴ x₁ = 1/10, x₂ = 1/5, x₃ = 3/10, x₄ = 2/5
∴ max f(X) = 27/9765625

a5ua さんが書きました:問1に挑戦してみました。

ラグランジュの未定乗数法を使う。
X = (x₁, x₂, x₃, x₄)とする。

g(X) = x₁ + x₂ + x₃ + x₄ - 1 = 0
を導入し、

h(X; L) = f(X) - L g(x)
の極値を求める。

以下の連立方程式が得られる。
∂h/∂x₁ = x₂²x₃³x₄⁴ - L = 0 (1)
∂h/∂x₂ = 2x₁x₂x₃³x₄⁴ - L = 0 (2)
∂h/∂x₃ = 3x₁x₂²x₃²x₄⁴ - L = 0 (3)
∂h/∂x₄ = 4x₁x₂²x₃³x₄³ - L = 0 (4)
∂h/∂L = -g(X) = -(x₁ + x₂ + x₃ + x₄ - 1) = 0 (5)

(1)～(4)より
L = x₂²x₃³x₄⁴ = 2x₁x₂x₃³x₄⁴ = 3x₁x₂²x₃²x₄⁴ = 4x₁x₂²x₃³x₄³
x_i > 0 なので、
x₂ = 2x₁
2x₃ = 3x₂ ⇒ x₃ = 3x₁
3x₄ = 4x₃ ⇒ x₄ = 4x₁

(5)より、
10x₁ = 1

∴ x₁ = 1/10, x₂ = 1/5, x₃ = 3/10, x₄ = 2/5
∴ max f(X) = 27/9765625

ふふふっ甘いのですよｗ
なぜならx₁ + x₂ + x₃ + x₄≦1が条件だからです
ラグランジュの未定乗数法を使うためには、まず最大値をとるために領域の境界Ｄρ上に解が存在することを示さなくてはなりません。
まぁそれ自体は領域の内部で最大値をとるとした場合の矛盾を導けばいいですけどね！
答えは恐らくあってます。（でないと泣くｗ）

難しいとわかりながらも、簡単といって、できない様子を
楽しむというやなやつですね。さっぱりだったら
指さして「なんだあの汚いものは！」とか
いって見てもおもしろかったかもしれませんｗ

πの値はガウスの相加相乗平均によるアルゴリズムでなんとかなるかもしれませんね。
√2はニュートン法で精度良く定まります。
atan(1)やπ^2 / 6から攻めるのは時間的に無理臭いです。
・・・まぁ、鬼畜には違いないですね。。。

問一ですが、普通にラグランジュの未定乗数法でやったのであえなく討ち死にしましたorz
えげつないなぁ・・・