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これおうとる・・?

パーマリンクby Dixq (管理人) on 2016年11月29日(火) 22:38

ツイッターで見かけたこの問題

5b3afc9d.jpg
5b3afc9d.jpg (88.01 KB) 表示数: 31 回


試しに解いてみたら出来た!…と思うんやけど…、、

img052.jpg
img052.jpg (237.95 KB) 表示数: 91 回


答えが無いけどこれでおうとる?!
添付ファイル

コメント数: 17 閲覧数: 4856
コメント

Re: これおうとる・・?

パーマリンクby Dixq (管理人) on 2016年11月29日(火) 22:39

途中めっちゃ不要な計算やっとるな・・。
これが14年ぶりに数学やった力やで
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記事: 1391
登録日時: 2010年10月12日(火) 20:16
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Re: これおうとる・・?

パーマリンクby みけCAT on 2016年11月29日(火) 23:22

何も考えずにWolfram|Alphaに突っ込んでみました。
コード[Text]: 全て選択
1
Solve[a == x^5 + 1/(x^5) && x + 1/x == i, a]

Solve[a == x^5 + 1/(x^5) && x + 1/x == i, a] - Wolfram|Alpha
wolfram_alpha_dixq_question-20161129.png
Wolfram|Alphaの答え
wolfram_alpha_dixq_question-20161129.png (15.6 KB) 表示数: 279 回

正しそうですね。
添付ファイル
複雑な問題?マシンの性能を上げてOpenMPで殴ればいい!(死亡フラグ)
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みけCAT
 
記事: 5553
登録日時: 2010年11月26日(金) 21:35
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Re: これおうとる・・?

パーマリンクby YuO on 2016年11月30日(水) 02:15

計算ミスしそうですが,二次方程式の解の公式でxを出して,x2, x4経由でx5を算出,もできますね。
# 実際,x4×xでミスしました……。

手計算の跡。ミスした1枚目は破棄してます……。
math_53_6639_yuo.png
math_53_6639_yuo.png (519.89 KB) 表示数: 38 回

間違いそうなだけで,こちらの力業っぽい方がDixqさんの方法よりも簡単な気がしてしまうのは気のせい……?
添付ファイル
YuO
 
記事: 852
登録日時: 2010年12月01日(水) 01:25
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Re: これおうとる・・?

パーマリンクby Dixq (管理人) on 2016年11月30日(水) 08:39

みけCAT君

えぇ、今そんなことができるん??
すげぇなぁ。スマホがあればカンニングしまくりやなぁ・・。
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記事: 1391
登録日時: 2010年10月12日(火) 20:16
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RE: これおうとる・・?

パーマリンクby Dixq (管理人) on 2016年11月30日(水) 08:42

YuOさん

ありがとうございます!
友人からIT速報に模範解答載ってると教えてもらいました。

img053.jpg
img053.jpg (222.95 KB) 表示数: 13 回


だそうです。
すげぇ・・計算量少ない。
YuOさんの方法も正解のようですね。
私のも一応答えはあってたものの二項定理まで使ってバカ正直に5乗の展開するなんて
バカがやることですね・・・。(計算時間的に)
添付ファイル
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記事: 1391
登録日時: 2010年10月12日(火) 20:16
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Re: これおうとる・・?

パーマリンクby あんどーなつ on 2016年11月30日(水) 10:26

面白そうなので、自分でもWindows電卓でやってみました。

x + 1/x = iより、x^2-ix+1=0.
解の公式より、x=(1±sqrt(5)i)/2≒-0.6181i, 1.618i.

(x^5+(1/x)^5)|[x=-0.618i] = 11.021i.
(x^5+(1/x)^5)|[x=1.618i] = 10.999i.

※計算は小数点第3位の精度で行っています。
あんどーなつ
 
記事: 171
登録日時: 2016年11月02日(水) 06:55
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Re: これおうとる・・?

パーマリンクby Dixq (管理人) on 2016年11月30日(水) 18:53

あんどーなつさん

> x=(1±sqrt(5)i)/2

なんで複素数が純虚数になったんだろう・・?と思ってたら

x=(i±sqrt(5)i)/2

じゃないですかね?
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記事: 1391
登録日時: 2010年10月12日(火) 20:16
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Re: これおうとる・・?

パーマリンクby あんどーなつ on 2016年11月30日(水) 20:34

あ、そうですね。駄文を読ませてしまい申し訳ありませんでした _(/. _ .\)_
あんどーなつ
 
記事: 171
登録日時: 2016年11月02日(水) 06:55
日記: 日記を見る (24)

Re: これおうとる・・?

パーマリンクby Dixq (管理人) on 2016年11月30日(水) 21:28

プログラムで計算しようとしたんですが、期待の値が出ないのはなんででしょう・・。

コード[C++]: 全て選択
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
#include <stdio.h>
#include <math.h>
 
int main()
{
    double x1 = (1 + sqrt(5.)) / 2;
    double x2 = (1 - sqrt(5.)) / 2;
 
    double x1_5 = pow(x1, 5.);
    double x2_5 = pow(x2, 5.);
 
    printf("A. %fi, %fi\n", x1_5 + 1 / x1_5, x2_5 + 1 / x2_5 );
}


A. 11.180340i, -11.180340i
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記事: 1391
登録日時: 2010年10月12日(火) 20:16
お住まい: 北海道札幌市
日記: 日記を見る (541)

Re: これおうとる・・?

パーマリンクby Hiragi(GKUTH) on 2016年11月30日(水) 21:42

現役生が解いてみた、
計算でとりあえずゴリ押ししてみるそれでも
2分ぐらいは掛かってしまう...画像
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Hiragi(GKUTH)
 
記事: 148
登録日時: 2010年10月16日(土) 20:10
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Re: これおうとる・・?

パーマリンクby Dixq (管理人) on 2016年11月30日(水) 22:23

まぁこれが2分で解けるんならいいんじゃないっすかね。
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Dixq (管理人)
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記事: 1391
登録日時: 2010年10月12日(火) 20:16
お住まい: 北海道札幌市
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Re: これおうとる・・?

パーマリンクby みけCAT on 2016年11月30日(水) 22:29

Dixq (管理人) さんが書きました:プログラムで計算しようとしたんですが、期待の値が出ないのはなんででしょう・・。

1/(x^5)は1/((ai)^5) (aは実数)となります。
すなわち、i^5 = iなので、1/((a^5)i)
分母を有理化して(i/(-a^5))、すなわち-(1/(a^5))i
従って、正しい計算式は
コード[C++]: 全て選択
1
    printf("A. %fi, %fi\n", x1_5 - 1 / x1_5, x2_5 - 1 / x2_5 );
となるでしょう。
複雑な問題?マシンの性能を上げてOpenMPで殴ればいい!(死亡フラグ)
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みけCAT
 
記事: 5553
登録日時: 2010年11月26日(金) 21:35
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Re: これおうとる・・?

パーマリンクby Dixq (管理人) on 2016年11月30日(水) 22:53

> みけ君

マジで・・。
確かに11iになりましたわ・・。
えーでもよくわからんな、、
x=aiと置けるということは最初の式は
ai + 1 / ai = i
になるっちゅうこと?
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Dixq (管理人)
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記事: 1391
登録日時: 2010年10月12日(火) 20:16
お住まい: 北海道札幌市
日記: 日記を見る (541)

Re: これおうとる・・?

パーマリンクby みけCAT on 2016年11月30日(水) 23:32

Dixq (管理人) さんが書きました:x=aiと置けるということは最初の式は
ai + 1 / ai = i
になるっちゅうこと?

プログラムではxが(解いてみると)純虚数になることを利用しているのでそう置き換えることができるが、
最初の問題を見た時点ではそれは自明ではないような…。
でも、aは実数という条件を外して単にx=aiとおくと、結果的にiが消えて嬉しい、という考え方はありそうですね。
複雑な問題?マシンの性能を上げてOpenMPで殴ればいい!(死亡フラグ)
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みけCAT
 
記事: 5553
登録日時: 2010年11月26日(金) 21:35
お住まい: 千葉県
日記: 日記を見る (242)

Re: これおうとる・・?

パーマリンクby GRAM on 2016年12月01日(木) 00:09

マジレスしていいのかわかりませんが、
対称式は基本対称式で表せるので、やり方を知ってれば一瞬で片が付くタイプの問題です。
具体的には
a^5 + b ^5= (a + b)^5 - 5ab(a + b)^3 + 5(ab)^2(a + b)
なので、a=x、b = 1/xとして右辺に代入すれば答えです。
この手のかけてきれいに消えるa,bが与えられてれば基本的にはこのやり方が速いかと思います(次数によりますが。。。)
上の公式自体は覚えなくても二項展開後にabとa+bの巾乗と積でまとめてけばすぐ求まります
最後に編集したユーザー GRAM [ 2016年12月01日(木) 00:25 ], 累計 2 回
アバター
GRAM
 
記事: 163
登録日時: 2010年11月02日(火) 21:48
お住まい: 大阪
日記: 日記を見る (148)

RE: これおうとる・・?

パーマリンクby あんどーなつ on 2016年12月01日(木) 21:02

complex.hを使ってみました

コード[C++]: 全て選択
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
#include <complex.h>
#include <stdio.h>
 
int main() {
    double complex a = 1.0, b = -1.0 * I, c = 1.0;
    double complex r0 = (- b + csqrt(b*b - 4.0*a*c))/(2.0*a);
    double complex r1 = (- b - csqrt(b*b - 4.0*a*c))/(2.0*a);
    double complex y0 = cpow(r0, 5.0) + cpow(r0, -5.0);
    double complex y1 = cpow(r1, 5.0) + cpow(r1, -5.0);
    printf("答え1: %f + %fi\n", creal(y0), cimag(y0));
    printf("答え2: %f + %fi\n", creal(y1), cimag(y1));
    return 0;
}


実行結果
コード[C++]: 全て選択
1
2
3
$ ./a.exe
答え1: 0.000000 + 11.000000i
答え2: 0.000000 + 11.000000i
あんどーなつ
 
記事: 171
登録日時: 2016年11月02日(水) 06:55
日記: 日記を見る (24)

RE: これおうとる・・?

パーマリンクby tk-xleader on 2016年12月02日(金) 19:31

Xn=xn+1/xn
(xn+1+1/xn+1)(x+1/x)=xn+2+1/xn+2+xn+1/xn なので、
Xn+2=i*Xn+1-Xn
x2+1/x2=(x+1/x)2-2=-3
よって、X3=-3i-i=-4i
X4=-4i*i-(-3)=7
X5=7i-(-4i)=11i

といった解法も考えられますか…

Offtopic :
同様に、Xn+4=3*Xn+2-Xn となり、X1=i,X3=-4iということからすると、この数列の奇数項は全て純虚数ということになります。一方で、X2=-3,X4=7であることから、偶数項は全て実数しかも整数であることが分かります。
最後に編集したユーザー tk-xleader [ 2016年12月02日(金) 19:49 ], 累計 1 回
アバター
tk-xleader
 
記事: 136
登録日時: 2011年4月23日(土) 01:23
お住まい: 関西某所
日記: 日記を見る (49)

オンラインデータ

登録ユーザー: みけCAT, 梅衣堂ひよ